Finite-Elemente-Methode zur Modellierung von Piezoelektrika
Die Finite-Elemente-Methode
Die Finite-Elemente-Methode (FEM) ist seit einigen Jahrzehnten ein etabliertes numerisches Verfahren zur Lösung partieller Differentialgleichungen. Im Rahmen einer Kontinuumstheorie ist es möglich strukturmechanische, thermische und elektrostatische Probleme ebenso zu bearbeiten wie komplexe elektro-magnetische oder auch piezoelektrische und thermomechanische Kopplungen . Großer Vorteil ist hierbei im Vergleich mit anderen numerischen Verfahren, daß die FEM eine Bearbeitung krummlinig berandeten Körpern, von Stoffverbünden bei vielfältigen Randbedingungen erlaubt.
Es gibt einige weit verbreitete FEM-Pakete. In der Fachgruppe Physik Ferroischer Materialien verwenden wir das Paket ANSYS, welches mittlerweile in der Version 11 in unserem Rechenzentrum bereitsteht. ANSYS ist ursprünglich zur Berechnung strukturmechanischer Probleme entwickelt worden. Mittlerweile können aber beispielsweise ebenso Rechnungen zu elektro-magnetischen Felder oder zu thermischen Problemen durchgeführt werden. Insbesondere sind auch die Einbeziehung des direkten und indirekten linearen Piezoeffekts (elektro-mechanische-Kopplung) möglich. Trotz dieser Beschränkung auf Kleinsignal-Eigenschaften kann ANSYS mit Gewinn eingesetzt werden für die Beschreibung piezaktiver Materialverbünde, wie Faserkomposite und Mehrschichtsysteme. Dabei können verschiedene Rechenverfahren unterschieden werden, die hier der Anschaulichkeit halber für den indirekten Piezoeffekt erläutert werden:
- bei einer statischen Berechnung, wird die mechanische Verrückung und die mechanische Spannung sowie die Verteilung des elektrischen Feldes bei konstanter elektrischen Spannung untersucht. Auch effektive Eigenschaften von Verbundsystemen können auf diese Weise ermittelt werden.
- bei einer Modalanalyse werden Eigenschwingungen der Struktur untersucht. Hier werden Eigenfrequenzen und Eigenschwingungsformen ermittelt.
- die harmonische Analyse erlaubt es, die Antwort der Struktur auf anliegende periodisch anliegende elektrische Spannungen zu ermitteln. Insbesondere können hierbei Impedanzspektren berechnet werden, was bei inhomogenen Strukturen wie Faserkompositen in geschlossener Weise nicht möglich ist.
- schließlich erlaubt die transiente Analyse die Antwort der Struktur auf eine beliebige zeitabhängige elektrische Spannung zu berechnen.
Beispiele für Rechnungen mit ANSYS
Piezoelektrika
In meiner Diplomarbeit Charakterisierung und Modellierung piezoaktiver Faserkomposite und Biegeschwinger mit der Finite-Elemente-Methode (2002) habe ich mich mit den in ANSYS implementierten Dämpfungsmechanismen auseinandergesetzt.
Im Jahr 2003 fand an der Martin-Luther-Universität ein Heraeus-Ferienkurs zu Ferroelektrika statt. Im Rahmen dessen habe ich eine Computerübung konzipiert und durchgeführt. Das zugehörige Lehrmaterial gibt einen Einblick in das Vorgehen bei der Modellierung von Faserkompositen mit ANSYS. (Bitte entschuldigen Sie alle toten Links. Alle internen Links funktionieren. Die anderen Verweise müssen noch aktualisiert oder entfernt werden.)
Lange Nacht der Wissenschaft
Im Rahmen der Langen Nacht der Wissenschaft 2003 haben wir aus aktuellem Anlaß (Fehlguß von Glocken für die Frauenkirche) in einem fremden Gebiet "gewildert". Die Eigenschwingungsmoden einer Glocke wurden mit der Finite-Elemente-Methode berechnet (Die Animationen können durch Klick auf die Pfeile gestartet werden).
Weitere Erfahrungen zur FEM-Modellierung
Einige Erfahrungen liegen auch im Bereich elektrostatischer und thermischer Berechnungen vor.
Veröffentlichungen zum Thema
- R. Steinhausen, C. Pientschke, W. Seifert und H. Beige. Finite element analysis of the thickness mode resonance of piezoelectric 1-3 fibre composites. In Ultrasonics Symposium, 2004 IEEE, Bd. 3, S. 1678-1681. 2004.
DOI: 10.1109/ULTSYM.2004.1418146
- R. Steinhausen, S. Kern, C. Pientschke, H. Beige, F. Clemens und J. Heiber. A new measurement method of piezoelectric properties of single ceramic fibres. Journal of the European Ceramic Society, 30(2): 205-209, 2010.
DOI: 10.1016/j.jeurceramsoc.2009.06.013